一番難しい数学の入試問題

第4問 　$ \sin(\sin(\sin(\cdots \sin(x)\cdots )))$

問題

$n$を正の整数として, 関数 $f_n(x)$ を $f_1(x)=\sin(x)$, $$ f_n(x)=\sin(f_{n-1}(x)) \quad n=2,3\ldots $$ と定める. $L>0$ を定数として, $a$の方程式$$ f_n(a)-\frac{a}{L}=0 $$ の実数解の個数を$A_{L,n}$とする.

(1)　$0<L\leqq 1$ のとき, $\displaystyle\lim_{n\to \infty} A_{L,n}$を求めよ.

(2)　$1<L$ のとき, $\displaystyle \lim_{n\to \infty} A_{L,n}$を求めよ.

ただし, 非負実数の数列 ${a_n}$ が $a_{n+1}\leqq a_{n}$ を満たす時, $a_n$は収束することを用いて良い.

解いてみた

割と有名そうなやつです. まずは全実数ではなく $a>0$ だけで考えられるようにしたいです. これは方程式の左辺が奇関数なので良いです.

(1) は, そもそも $\sin(x) <x$ なので $\dfrac{x}{L}=\sin(\sin(\sin(\cdots \sin(x)\cdots ))) < x $ を満たす $x>0$ はなさそうですね. つまり $A_{L,n}=1$ です.

(2) は, うーん, 流石に $x>0$ の範囲で $f_n(x)=x/L$ は高々1個しか解をもたなそう... (そうじゃなければ, お手上げです) 逆に解をもつのかな? $f'_n(0)$ を調べると, $$ f_n'(0) = f'_{n-1}(0)\cdot\cos(f_{n-1}(0)), \qquad f'_1(0)=1 $$ から, $f'_n(0)=1$. 逆に, $g(x):=x/L$ は $x=0$ における微分が $1/L<1$ なので, 初めの勢いでは $f_n(x)$ は $g(x)$ を越します. しかし, $n$ が大きいと$f_n(x)$ はすぐ0になる雑魚キャラなので, すぐ $g(x)$ が追い越すなぁ. みたいなことを考えて, ある一定の範囲で解が1個あって, それ以降は交わらないみたいなことを示すと良さそうです.

まず中間値の定理を使うには, ある $a$ に対して $f_n(a)>g(a)$ を示したいですが, できれば具体的にわかっていた方が良さそうですね. ここで思いついたのは, $f_n(x)$ を下から評価したい! と思い, $$ x > f_n(x) > x - \frac{n}{6} x^{3} \quad (0<x<\pi) $$ を示しちゃいます. (さすがに後から見ると不要だったように思えますが... ) これは, 不等式 $$ x - \frac{1}{6} x^{3} < \sin(x) < x \quad (x>0) $$ を用いて, ( $n-1$ で不等式が成立したと仮定して, $f_{n-1}(x)$ は $0<x<\pi$ で正なので) $$ f_{n-1}(x) - \sin(f_{n-1}(x)) < \frac{1}{6} f_{n-1}(x) ^{3} < \frac{1}{6} x^{3} $$ より $$ \sin(f_{n-1}(x)) > f_{n-1}(x) - \frac{1}{6} x^{3} > x - \frac{n}{6} x^{3} $$ と, 帰納的に証明できます. これを用いると, $$ f_n(x) - g(x) > x - \frac{n}{6} x^{3} - \frac{x}{L} = x \left(1-\frac{1}{L}-\frac{n}{6} x^{2}\right) $$ となるので, 当たり前に $x<\sqrt{\frac{1-1/L}{n/6}}$ で正になります. (これ必要か?)

よって, ある程度の範囲

ていうか, 別に $n$ が小さければ解たくさんでてきてしまいますね. $n=1$ のとき, $L$ がでかければ解はたくさんあります. だから $n\to \infty$ なのか. $n\to \infty$ での振る舞いを考えましょう. 解がある一定の範囲で出てこないためには, $f_n(x)<M $ と評価してあげるのが良さそうです. $f_n(x)$ の最大値を考えたいですが, よく考えると $f_n(x)=f_n(\pi-x)$ なので, どうせ最大値は $f_n(\pi/2)$ です. これを確かめます.

さっき $f_n'(0)$ を考えましたが, 合成関数の微分を考えると $$ f'_n(x)= f'_{n-1}(x)\cos(f_{n-1}(x)) = f'_{n-2}(x)\cos(f_{n-2}(x))\cos(f_{n-1}(x)) =\cdots =\cos(x)\cos(f_{1}(x))\cdots \cos(f_{n-1}(x)) $$ と計算できます. $|f_k(x)|\leqq 1$ なので, 最右辺の積の2個目以降は必ず正なので, $f'_n(x)$ と $\cos(x)$ の符号は一致するはずです. となると, $f_n(x)$ の最大値は $f_n(\pi/2)= \sin(\sin(\sin(\cdots \sin(\pi/2)\cdots )))$ と, $\pi/2$ に $\sin(x) $ を $n$ 回イテレートしたことになるので, この最大値を $m_n$ とおくと,

東大模試受けてみた

東進の東大模試(第1回)。数学以外書くことはないので数学だけ書いていく。

第3問

問題

数列 $a_n$ は $n=1,2\ldots$ について以下の条件を満たしている: $$ a_n^2 = \sum_{k=1}^{n} a_k ,\qquad a_n > 0 $$

(1) $a_1$, $a_2$ を求めよ.

(2) $n=1,2,\ldots$ について, $a_n \leqq \dfrac{n+\sqrt{n}}{2} $ を示せ.

(3) $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \dfrac{a_n}{n}$ を求めよ.

解いてみた

目について解けそうなやつから解くシリーズで, まあ簡単な数列そうだしこれにしました. (1) は本当のやるだけですね. 数列が $n$ の昇順に決めていけますよ という問題だと思います.

$a_1^2 = a_1$ より、 $a_1=1$

$a_2^2 = a_1 +a_2$ より, $a_2 = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} $

(2) は適当な評価でできそうですが, できれば不等式は答案上で手際よく示したいので, 問題用紙で評価をつなげてから整形して答案に書きたいと思います. その結果答案がスッキリして天下りみたいに見えます.

まあinduction(数学的帰納法)を使いたいですね. $\sum_{k=1}^{n} a_k$ が線形なので, $ n = m $ の式と $n=m+1$ の式を比較すると $$ a_{m+1}^2 = \sum_{k=1}^{m+1 } a_k = a_{m+1} + \sum_{k=1}^{m} a_k = a_{m+1} + a_{m}^2 $$　 ともはや和がいらなくなりました. $$ a_{m+1}^2 - a_{m+1} = a_{n}^2 $$ ですが, $a_{m+1}$ について解いても良さそうですが, ルートを外す段階でだいぶ煩雑になるので目的の $\dfrac{m+1+\sqrt{m+1}}{2}$ について $f(x)=x^2-x$ とおいて関数の値を比較すれば良いです. まず, $a_{m+1}(a_{m+1}-1) = a_n^2 >0 $ から, $a_{m+1}>1$ がわかります. その上で, $$\begin{align} f\left(\frac{m+1+\sqrt{m+1}}{2}\right) = \left(\frac{m+1+\sqrt{m+1}}{2}\right)\cdot \left(\frac{m+1+\sqrt{m+1}}{2}\right) \\= \frac{(m+\sqrt{m+1})^2-1}{4} = \frac{m^2+2m\sqrt{m+1}+m}{4} \end{align}$$ であり, $$f(a_{m+1}) = a_m^2 < \left(\frac{m+\sqrt{m}}{2}\right)^2 = \frac{m^2+2m\sqrt{m}+m}{4}$$ より, $$ f(a_{m+1}) = a_m^2 < f\left(\frac{m+1+\sqrt{m+1}}{2}\right) $$ が言えて, $a_{m+1} < \dfrac{m+1+\sqrt{m+1}}{2}$ が言えましたね. よかったよかった (3) は下からの数列を何か考えたくて, 例えば $a_{m} > m-1$ なんかを考えてみましょう. このとき, $$ a_{m+1}^2 - a_{m+1} = m(m-1) < (m-1)^2 $$ ってあれ?? これ示せなくない??

となりましたが, 冷静に考えると, (というかそうならなくとも) $a_n = \dfrac{n}{2} + O(\sqrt{n})$ でしたね.

国際物理オリンピックで3位を取った話 ( IPhO2025 参加記 )

導入

国際物理オリンピックとは?

理論試験

[!NOTE] IPhO2025 理論第3問 "Champagne!" Part C より

実験試験

試験以外の要素

IPhO2025 リレー日記

DAY0 7/16 集合・結団式

13:00 5人は東京理科大学神楽坂キャンパス1号館13階に集まった。井戸沼のドバイチョコレートが選手のワクワクや緊張感をやわらげる。

13:30 別館に移動、入口で菊池さんにサイフロ教員が来ていることを伝えられ、困惑。入ってみると校長だった、選手が入室したころには河野がいて、遅れてくぼた、小林が来た。結団式が開始、JSTの人トヨタの理化学研究の人、ヨビノリに出ている山本先生などが出席していた。 最後に、選手宣誓、前代表からの言葉があり、このときに気持ちが引き締まった。

15:00 1号館13階に行き、実験研修理論研修を行った、実験ではタイ大会のブラックボックスコンデンサをやった、 やっていることは割と簡単で、めずらしく心が折れなかった。理論研修で配られたIPhO24第1問(地球温暖化)は既知だったっで、電卓や他の問題に取り組んだ、電卓の精度は相当、実験に響きそうだ。

17:30 食堂で夕食を食べた。1人 up to 1000円で、 自分はかきあげうどんとアイスの実を食べた。角谷がアイスの実を床に落としたが、接触面積が0なので食べてた。

18:30 羽田空港に地下鉄で移動。

21:00 出発30分前に六厘舎でラーメンを食いになった、角谷と頭をふっつけ合いながら早食いした。(速食いの方が日本語として適切じゃね?)

22:00 ついに出発。 IPhO2025が始まった。

23:00 Dinner。豚のしょうが焼きを食べた、別にパンいらんて。

→すいみん

2:00 (HEL) Breakfast。ポークソーセージ以外の選択肢が存在しなかった。(オムレツ付き) しばらくすると、フィンランドらしい無限の湿地が広がっていた。全てがゴルフ場に見えた。

4:00 (HEL) 着陸。はまたろうが Safety Cardを入れるところにスマホを落としていて、 取り出すのに10分くらい戦った。前の人はとぞ迷惑がっていただろう。

予定より40分早く着いたので次のフライトまでだいぶ時間があった。オレたちの生気を全てうばわれたんかってぐらい角谷があばれ回る。

角谷がフライト中ひますぎて北極点付近でとった時間と座標の関数を見せてもらった。それはまるで実験の表のようで、2日後に迫るExp examを思い出させた。

ヘルシンキの朝の強い日に照らされながら日記を書く、次は5日後理論試験の日だろうか。

DAY1 7/17 登録

起きたらHelsinkiだった。"金髪美女"と"胸板厚いバイキング"がCAだった。Helsinkiでは俺とItami、その他3人で分かれて行動していた。俺とItamiはうろうろ空港内を歩き休憩所でごろついた後、マクアップルシグールとサーモンライ麦サンドを食べた。サーモンが新鮮でうめぇ〜。シダールもうめぇ〜。リンゴサイダーの上品なやつの味。3時間の国内線みたいな飛行機に乗り、フランスに着いた。

この後入国し、バスで1時間ぐらい待った後、ホテルに向かってレジスターをして、スマホにさよならを言う。部屋は3人部屋と2人部屋に分かれている。ガイドは金髪メガネ女性。部屋が狭く、EuPhO勢はジョージアに戻りたいらしい。昼食はサンドウィッチとリンゴとチップスだった。

バスルームはとても狭くて、トイレとシャワーが隣接していて、シャワーを浴びるとトイレが水浸しになるので、トイレは167、風呂は106でやるという法律を作った。

IChOで🇦🇺人と仲良くなったので渡されていた手紙をIPhO代表に届けた。角谷は風呂に入らないらしい。その後は部屋でダラダラした。

Ahamadが変なことを言っていた：日本食とその他、一生どちらしか食べられないなら、Ahamadはどうする？と聞かれたら、日本食を食べると答えた。だがしかし、中華料理とその他、どっちかしか食べられないなら、どうする？と聞かれたら中華料理を食べるらしい。矛盾してないか？

AhamadのLINE

それと、トンキン大学になぜ女性より男性の方が多いのか？という議題を議論した。

夜飯はホテルの地下のレストランで食べる。イタリア料理で、味は良い、量は不足。

DAY2 7.18(金) 開会式

朝は6:00に起きた。"朝食は1人20分まで"、俗に言う二郎形式である。サクサクのクロワッサンや卵焼き、ソーセージを頂く。7:45から開会式の会場へ向かうのだが、渋滞と安全運転により到着が遅くなってしまった。

開会式は思った5倍はきちんとした場所で行われ、ノーベル賞2012の受賞者が光速の測定と時間の科学史の話をしたり、エコールポリテクニックのオーケストラが演奏してくれたり、ムキムキ黒人と小柄女性が躍ってくれたりした。最後はフランス近衛兵の鼓笛隊であった。 UK Teamがなぜか司会にからかわれていておもしろかった。 Lanchは立食形式みたいな感じで、ハンバーガーちジュースが自分のお気に入りであった。 APhOで知り合った人々何人かと再会を果たす。

その後はそのまま博物館の展示をめぐることとなった。14:00からのプラネタリウムを見ようとしたがいっぱいだったようで15:00~になった。待っている間、回転する部屋(回転座標系)でボールを投げてコリオリ力を学ぶ。コリオリ力で曲がったボールだったら人に当てても良さそうな雰囲気だった。このパワーアトラクションは3周した。Itami以外の人々でブラウン運動の展示で遊んでいると14:50の集合時刻を過ぎてしまった、その後はホテルに戻るため、Itami君はガイトとおもろいプラネタリウムを見たらしい。悲しくも入れなかった我々は水時計を研究していた、その後はホテルに戻るまで、行きの続きの実験道場の復習と休憩を繰り返した。ようた曰く、ロシア人は反プーチンでゴルバチョフガハハ(冷笑)らしい。

夕食はパエリアが美味かったものの、サラダ(副菜)の制限が厳しく、黒人のおばちゃん警察との戦いが始まった。明日はついに実験試験。no watch, no snacks, no pens らしい。ようたはブチギレである。

DAY3 7.19 (土) 実験試験

ようたが部屋に入っていた。彼は167のトイレを使いたいようだ。5時40分：あと3時間。起きて106号室で顔を洗った。ようたは腹痛だった。4時ごろからずっとトイレにこもっているようだ。(メモ:ようたはどちらの部屋の鍵も持っている) 心配よりも怒りが勝った。体調のせいで悪い成績を取ることが腹立たしかったから。"体調も実力のうち"と言われたもののの、自分はそうとは思わなかった。

バスに乗る。朝はすがすがしく、晴れて少し涼しいぐらいだった。この数時間はとてもあわただしかった。朝食の行列、薬を渡しにようたを探す時間など、とても試験前に落ち着く時間は取れなかった。

バスで目を閉じて想いを巡らせる。絶対に全完する。

Ecole Polytecnique に到着。と思ったらホールの前の広場で1時間待たされる。入る前に全員にインタビュー？　なわけあるかぁ。手際悪すぎか。

やっと入場できる。白いおじさんにSnackとDrinkは持ち込みOKと言われる。ただ時計は無理だった。時計は1時間ごとのアナウンスしかないと言われた。は？ そんなわけはなかったが、(実際はストップウォッチの時計機能で時間がわかった。) さすがに心配だった。ただお菓子は持ち込めたので部屋の前に大量に並べて試験に挑む。

試験15分前。トイレに行こうとすると、2部屋しかなくて、自分たちを含めて10人ほどがqueueに並んでいた。え、これ待つの？試験中にトイレに行けるか心配になった。列に待ちながらチームメイトと話していると、急にアナウンスが流れた。試験が始まったのだ。は？ 走ってブースに戻り封筒を開封する。

ここからの試験の様子は自分視点で別記事に書いてます。

試験が終わる。自分は5時間トイレにも立たず全力を出していた。頭痛がする。全力を出せたと思うし、どう考えても失敗はしていなかったが、それでも16.5点分しか解けなかった。本当に絶望する。というか実力不足に本当に絶望した。

ただ他の人はT2を完、T1Aもそこもできててまあいい感じそうだった。試験場が暑かったせいか、(もちろんフランスなのでエアコンはない) Ahamadは軽い脱水症状になっていたみたいだ。

DAY6 7.22(月) エクスカージョン (サイエンスツアー)

今日はね〜研究室見学ッス。

1. バス8:45出発だと思ってたけど 7:45でした、チックショ〜朝飯キャンセル。

2. 研究室っつうか、研究学園都市的な施設らしい。PhDが120人くらいいる研究所。

3.今日は列班分けが特殊なのでいつものBus7での行動じゃなくて、タイとキューバとでした。小さめのホール(正孔じゃないほう)で軽い研究室紹介を受けた後、最初に連れて行かれたのがPartical Accerelatorだった。Spring-8 より小規模だが中性子も飛ばせるとかなんとか。いつもの四重極子磁石が管にいっぱいついてた。 これレンズらしいっすね〜キューバ人がウラン缶の上に座っていてえぐい。

1. 次はCavityについての研究室。硫酸硝酸50Lとかもっててえぐい。同じ班のキューバ人がクリーンルームの電切って修羅場に。常でも実はAhamadがやったらしい。(草)

2. 昼飯:激ウマ!! ラム、サラダ、ツナピザ、サーモン、チキン、マッシュポテト、カマンベールチーズ、うまかった。日本語でフランス人がいた。クレメンスに「yota」と言ったら「Sato.」と返してきて面白かった。

3. 別の研究室施設に来た。4つ見ていく。

4. 電子顕微鏡。電子は磁場で曲げられるけどX線は曲げられんから電子を集中させられる点、電子顕微鏡の方が優秀らい.

5. シアノバクテリア。セーヌ川で遊泳解禁だけど人々が入ってから1ヵ月くらい様子見て旅そいつらが気になるかチェックしてから入るぜとか言ってる陽気なおっちゃんとPhD Student が光合成の話してくれた、シアノバクテリアは光合成効率がエグ高いとかだけど、CO₂吸うから、もともとpH6.5とかの液がpH11とかになっちゃうらしい。

6. 針うごかして表面見るやつ、 graphiteの面に針を1nmぐらいの距離から近づけて表面を観察するやつ。実際に見るのは初だった。

10.シャボン玉。

こんな膜つくったり、

こんな膜つくってたり、

こんな膜つくったりして楽しかった。

シャボン液がのびに強くなってポリマー入れるといいらしいよ。だ液もタンパク質あるかのびるんだ？

プラトーの定理っていうのがすごい。シャボンの面が3面が1線で交わる時、120度ずつで交わる界面こそエネルギー を最小化できるらしい。 (それはそうか。)

1. "Proper French Dinner"

Harm, the committee sald in our bosblet this meal wos proper which meas humplies our ordinary meats of ours are Improper...

sone bogue the Auguay Es we had lattatenye Q), stend beet, authentic chexe (3 binds st) and desserts, baguette was the best for me but others called Salmon with green onion" eco-villkin negitors" and favored it. We talked about Clémene home and noticed how Board (Taves & pravos French "e" sound.

DAY7 7.23(水) エクスカージョン (パリツアー)

DAY8 7.24(木)

0時を回った。本当は今日が感動のフィナーレとなるはずだったが、サプライズでそれが早まってしまった。ついさっきのことを思い出す。金メダルという結果は疑っていなかったが、3位というのは驚きだった。ガイドに送られてきた順位表を見た時、日本国旗を上から10番目ぐらいに見つけ、少し落胆した。それは目標としていた10傑入りを果たせなかったからだ。よく見てみると、点数は下から上に並んでいるとわかる。つまり自分は3位だった。上にはヒョクチュンというかわいい韓国人と、中国人だけがいて、他の400人は全員自分の下にいた。

AWを逃した、というのはだいぶ傲慢で、自分は13.3+26.5=39.8点, 2位の中国の人が41.2点, ヒョクチュンは43.2点だった。39.8点は上振れでも下振れでもない点数(理論でちょっと上振れ、実験で下ブレたので)で、自分の犯したミスなどを思い返すと、7/17に何回戻っても1.4点は取れてもあと3.4点は取れるわけはないなと思った。自分の実力がこんなもんだとはっきりわかったし、これぐらいあるんだぞって証明できたことは良かったのかもしれない。ちなみに4位の香港の人はapho2023からいた古株で、実はIMOで金メダルを取ってるらしい。こいつの方がよっぽど凄いな。

そんなことを考えながら半開きのスーツケースの前に立つ。スーツケースの前でぼーっと立ち尽くしてしまうことがしばしばあった。それは感傷に浸る時間というよりも、スーツケースから何かを探そうとしてそれがなんだったかを忘れてぼーっとしている時間だった。伊丹くんは寝て、井戸沼くんは中華界隈と卓球をしに行ったので、金メダリスト2人の部屋に向かった。日本は国別5位だそうだ。Ahamadくんがリークの順位表を見て必死に数えていたらしい。彼は相当嬉しかったのだろう。調子に乗るのもうなずける。何を話したかは覚えていないが、話すことがなくなった自分は、Ahamadくんのベットで寝落ちしてしまう。幅90cmのベッドのうち、40cmをAhamadが、15cmを彼の私物が占領していた。Ahamadも私物もuncompressibleであるので、狭い思いをしながら数回目を覚ました。

窓の外が薄明るくなった5時半ごろ、部屋に戻ってシャワーを浴びる。目が覚めたら8時半だった。蒙古タンメンメシを作って食べる。ガイドと約束していたシティーツアーに向かう。

(シティーツアー)

午後からは閉会式(Medal Celemony)だった。jphoオリジナルTシャツに着替えて、バスに乗る。パリ郊外の産業大学に向かう。10GBのEsimの通信量を全然使わないままフランスを出るのは悔しいので、道中では無闇にYouTubeでクソ映画のレビューを見た。会場は開会式のホールより狭い大講堂のような会場で、とても銅メダルの人数を前に出せるとは思えなかった。ちなみにこの時まで、伊丹くんはまだ銀メダルかどうか知らないらしい。（流石に取れると思っていたが）ここまで持ち込まれると結構ドキドキするんだろうなという感じだった。

Twitterで22時からと予告していたが、前半はありがたいお話と、ノーベル賞のアスぺの講義があり、流石にメダルセレモニーが始まるまで長く、配信の人はつまらなかったのではと思った。途中で司会のマクロンに似ているやつとアスぺ教授が喧嘩すると言う珍事が起きた。

メダルセレモニーが始まる。HMの人はただ名前を呼ばれるだけだった。しかもフルネームでもないし、国名もないので、一瞬で終わってしまい少し気の毒だった。銅メダルが始まる。これは国順に名前を呼んで前に出るものだったので、順位に関わらず呼ばれる位置は固定される。Jぐらいのスライドで、誰も名前はなかったので、3金2銀が確定した。ちなみに銅メダルの人は多すぎて何かを囲むと言うわけわからないスタイルで、まぁこれもちょっと気の毒だった。

銀メダルを取ったのは井戸沼くんと伊丹くんだった。国旗を持って2人同時に送り出す。国名はJapanなので、2段目の真ん中ぐらいの位置に辿り着けたが、残念ながらその後の国が多すぎて覆い被されてしまった。おめでとう。

銀メダリストが流されて、金メダルの番になった。37人は一列に並ぶには少し多かったが、うまく動けば小さい自分たちでも写真に映るぐらいはできそうな人数であった。3位なのでTOP3の表彰(aphoではあったらしい)を期待していたがなかった。3人同時にステージに降りる。先ほどのアスペ教授にメダルをかけてもらい、お前はどこからきたのか聞かれた。JAPANと答えたら、JAPANのどこか聞かれた。質問の意図を読み取ることが難しい時もある。

1列目の左の方に立つ。できるだけ前に行こうとした。この時だけはメガネを外して、いい感じに笑顔になろうと思ったが、どうすればいいかわからなかった。自分としては口角を上げて笑おうとしたのだが、あまり笑っていなかったらしい。ここ1週間冷笑が話題のテーマになっていたこともあって、自分は冷笑しかできなくなってしまったのか。笑い方も忘れてしまうなんてバカみたいだった。他の2人と同じように、ステージに立っておっちゃんず(先生方)の方を向いた時は誇らしかったと思う。

その後はBE,BT,そしてAWの表彰があった。BE(実験一位)は自分がナイフ使いと昔から呼んでいるルーマニアの選手で、普通にかっこいいが、撮影に無限円かけていそうな顔写真に笑ってしまった。ちなみに自分の写真は場違いな写真だった。AWは韓国のヒョクチュンという男で、このような見た目をしていながらaphoとipho両方で一位を取る伝説級の人間である。純粋に凄いなと思った。

閉会式が終わり、ブースで写真を撮った。このとき柴橋先生から笑え！とめちゃくちゃ言われたが、笑い方がよくわからないので、冷笑と同じ笑い方をしてしまった。これでよかったのかもしれない。3金2銀の写真はメダルの色がバランス良くて映えるな。ちなみに、3金2銀は日本では過去最高成績で、2011年に一回達成しているものの、順位的には今年の方が圧倒的に高いので、申し分なく20年間の歴史で最高成績だと言ってもいい。勝手にキャプテンを名乗ってミーティングなどを開いていろいろ教えたりしていた自分は、自分のチームが過去最高成績だったことが特に誇らしかった。

そしてお別れパーティーに向かうが、相も変わらず食事はすぐなくなる。ドリンクだけ飲んであとはあしらっておいた。最後のイベントなので、友達、と言っても今回はあまりできていないが、にお土産を配ってさよならを言いに行った。まぁまずはヒョクチュンと写真を撮りたかった。韓国チームのところに行くと、ヒョクチュンはインタビューでいなかったけど、別の選手に I respect you と言われた。尊敬されることは嬉しかったが、それよりも尊敬という気持ちが存在していたことに気づかされた。確かに自分はヒョクチュンや去年のロシア代表の人々、中国の選手、ルーマニアの選手、田中優希やktsskなどを凄いなと思っていた。それを尊敬という気持ちで表現できることに気づかされた。I respect you. 今まで尊敬してきた人たちにまた会えるかはわからないが、今度から多用しようと思う。この後はヒョクチュンと他のチームメイトと写真を撮らせてもらい、インド、モンゴル、カザフスタン、ルーマニア、中国、USAの人(のちの"F"である)と話してお別れを言った。今まで話せなかったロシア代表とも話せた。もっと早く話しかけていればと後悔した。全体を通して、今までの大会より話した友達の数は少なかった。別にそれでもいいと思うが、出会いは大事にした方がいいとも思った。

DAY9 7.25(金)

22時ごろにホテルに帰宅し、全てのofficialイベントが終わった。

23時ごろ、ガイドのクレメンスに、パリ中心部にいるから遊びに来ないかと言われた。え? ジョージアの奴らが一緒に行きたいって言っているらしいが、ジョージアの奴らもガイドがいなかった。夜にガイド抜きでパリまで行くのは流石に厳しいように思えたので、悔しいがパスした。多分行ってたら荷物作りが終わってなかった。0時ごろ、Ahamadの部屋に行って灘の話を聞いた。灘中入試は地頭ゲーらしく、こういう漢字パズルもあるらしい。ちなみに1番はまだ解けていない。途中で東辻先生から電話が来た。バスの時間が6時になったのをメールで伝えたが既読がつかなかったからだ。すみません。

そしてクレメンスにあげるためにみんなで手紙を書いた。ようたは俺のベッドで寝た。2階からポテチといって伊丹くんの上に落としたりとか、とか、俺のガムをベットにぶちまけたりだとか、なぜかようたが荒ぶっていた。手紙を書いてお土産をまとめてたらいつのまにか4時になっていた。出発まであと2時間。みんなは寝てしまったがまだ荷物の整理が終わっていないのでシャワーを浴びる。このホテルとももうお別れか。5時半になって出発の時間なので、ようたを起こしたら"お前なんでそんな荒ぶってんだよ"と身に覚えのない罵倒をされる。荒ぶってたのはお前なんだよなぁ... ちなみに井戸沼くんはギリギリまで起きなかった。

ロビーでバスを待つ。クレメンスに手紙を渡す。あとはお土産にカービィのペンケースを渡した。別れを言ってバスに乗る。いつもこのシーンは泣きそうになるが、今回は泣かなかった。他のみんなは眠くてそれどころじゃなかったみたいだけど。ありがとう、クレメンス

それからバスでシャルル・ド・ゴール空港に戻る。さっきまで寝てなかった反動でここは完全に寝た。朝のシャルル・ド・ゴール空港はとても寒い。とても7月とは思えなかった。あとデカすぎ。Gの荷物の重さ測る君で自分の荷物を測ったら、27kgでだいぶオーバーしていた。急遽開いて勉強道具として持っていった紙をAhamadの3輪車に全部入れた。で自分の空の大きいカバンを取り出して、手荷物の小さいカバンを食べさせた。手荷物は1個のままだった。伊丹くんも苦戦していたが、なんとか通過した。そのまま保安検査場まで上がると、まさかのクソみたいに長い列(50mみたいな列を20往復ぐらいする)を歩かされた。冗談抜きで1km弱ありそうだった。あとパソコンとかは全部出さないとダメな面倒なタイプだった。色々終えて出国。10:50の飛行機を待つだけだった。

ゲートで8/3に受けようと思っていた東大模試の申し込みと、日本に帰ったらどこで打ち上げするかの投票をした。一人1票だと1つの選択肢にしか投票できないので、iphoで獲得した点数を四捨五入した票数を与えて、任意の選択肢に投票することになった。自分は39.8点なので40票、井戸沼くんは28票、Ahamadとようたは33票ずつだった。自分は34票本命に入れ、残り6票を第2希望に入れることにした。これでAhamadとようたの全力投球をあしらうことができるからだ。実力の差を感じた。結果はこうなった。

飛行機に乗る。国内線のような小さな6列の機体で、機内食もない。眠かったし通路側だったので3時間ぶっ通しで寝た。気づいたら到着してた。到着後井戸沼くんが秒でSUBWAYを買いに行ったら、G先生に怒られてた。"勝手なことしてもらっちゃ困るヨォ" ヘルシンキ空港ではEU圏内なのでパスポートコントロールしかなく、そのままゲートに入れた。お腹が空いていたのでバーガーキングを食べた。14ユーロ=約2500円と高かったが、久しぶりにこういうものが食べられて美味しかった。お土産としてフィンランドで有名なチョコレートを買った。

中華料理食べ放題として安くて美味しいと聞いていた南国亭を探して、時間が(店が空いてない時間だったので)日本にいるまきとくんに予約をお願いした。飛行機に乗る。これでやっと日本に帰れると思うとすごく嬉しかった。24日ぐらいからずっと早く帰りたかった。疲れてたんだと思う。

DAY10 7.26(土)

この飛行機(エアバスA350)はクソデカ飛行機でモニターもあり、ブランケットもあるしドリンクは好きなだけ頼める。唯一の不満はフライト時間が13時間もあることだった。出発してすぐ機内食が出て、あとは外は北極で真昼間だけどおやすみモードに入った。(今回は日の出が2回あるとかいう珍事には遭遇しない。)　自分はこれを編集して、井戸沼くんはずっと絵を描いていた。(彼は絵を描くのが得意だなぁ) あとはモニターでよくわからない選曲のjpopを聴いてみたり、またフライトマップで緯度を確かめたりした。今回は89度32分まで行けた。そのあとは、普通に日本の"ラストマイル"という映画を見た。これは超面白かった。飛行機とかであったら見るのをオススメします。

ぼーっとしていると北極航路通過証明書がもらえた。ロシア領空を通過できないので、北極海を通りましたよというお土産をフィンエアーが配っているそうだ。そんなものをもらって、気づくともう日本の陸地に入っていた。機内食キャンセルだったので打ち上げの中華料理が待ちきれなかった。あるあるな税関の紙を書いて到着。やったー

よく見るマリオが出迎えてくれる階段が見たかったが、それは今回はなかった。ゲートは文字通り顔パスで通過。荷物もロスなく受け取れたが、Ahamadの荷物が開けられて何かを破棄しましたという紙が入っていたそうだ。カメラのバッテリーかな? と思ったが、それも違う。何が取られたか未だにわかっていないらしい。ゲートを通過して解団式を行う。

書いていなかったので国旗にコメントを残し、先生に返した。3年間お世話になった先生とも一旦お別れ。委員長の東辻先生は今年で終わりで、来年から松本先生が委員長で、岡部先生が副委員長になるらしい。jphoの先生はベテランではあるが年配の人ばかりで、若い先生が一人でもいたらなぁとは思ったりした。スーツケースを閉じて"これで終わっちゃうのかぁ"なんてぼやいてたら、東辻先生から"何言ってるんですか、あなたはこれからでしょ"と言われた。確かに、物理オリンピックは終わったけどそれはその終わりでしかなかった。3年間(?)取り組んできたそれが無くなって今は何かのスタートなのかもしれないが、この先に何があるかはわからなかった。わからないからこそワクワクした。3年間ありがとうございました。

食べ放題の時間がちょっと先だったので、空港でダラダラ過ごすことにした。デッキに出てみると外はバカみたいに暑かった。日本の夏のエグさを思い知らされた。officialから結果が出ていて、黄色いサイトも更新されていた。ずっと見てきた統計サイトに自分の名前が載っているのは嬉しかった、とAhamadが言っていた。自分は実験6位、理論5位だったらしい。バランス型だった。親が国別の平均点を出してくれた。日本は合計7位で、実験が2位だったらしい。やっぱり実験はだいぶうまく行っていたそうだ。今まで理論がそこそこできて実験は中の中ぐらいだった日本が、なんで今回うまく行ったか考察した記事は別にあげようと思う。

今まで乗ったことがなかった羽田から浜松町まで行くモノレールに乗る。結構近未来感がある風景でワクワクした。ipho東京大会も、外国人から見ればワクワクして楽しかったのかなぁなんて想像した。南国亭 浜松町大門店 でまきとと合流する。彼は夏休み中だった。オープンと同時だったので自分たち以外の客はいない。待ちに待ったついに打ち上げが始まった。

打ち上げといっても大したことはせず、淡々と中華料理を食べていくだけだった。餃子、エビチリ、よだれ鶏、焼売、チャーハン、きくらげ(?)、あんかけ焼きそば、担々麺、レバニラ、ゴマ団子、杏仁豆腐... ウマい。とにかく美味かった。美味すぎてすぐお腹がいっぱいになった。普通にどの料理も美味すぎてびっくりした。この時だけ小食なことが嫌だったぐらいだった。あとはまきとにこの1週間を報告した。楽しい時間はあっという間だった。

隅田川花火大会があるので見て帰るのも良かったが、灘勢は新幹線があるし、自分には27kgの足枷があるので、東京タワーを眺めて解散にした。忘れられない夏の思い出になった。帰りの電車で花火見れるかな〜なんてアリスとテレスのまぼろし工場みたいなシーンを想像したが、実際は座っていたらうとうとして27kgの箱から手を離して慣性力で電車内を暴れ回らせてしまった。気づいたら1ドア分先のところにいて、めちゃくちゃ迷惑をかけた。本当にごめんなさい。

家に到着して泥のように眠った。起きたらまた普通の日常が始まる。去年のeuphoの最後の夜、小林が子供最後の日やって言ってまくらチャンバラを始めてきたのを思い出した。自分にとっても今日がそうなのかもしれない。高校の運動会が終わってからの2ヶ月間はずっとiphoの勉強をしていて、それが無くなった今は実際少し燃え尽きている。この先どんなことがあるかわからないが、少なくとも中3のころ物理オリンピックを始めて良かったことは間違いない。

自分の経歴

代表になるまでの道のり

上から6,18,30人がそれぞれ金、銀、銅賞をもらえます。最も重要なことに、高3以上を除いた上からの12人は代表候補に選ばれて研修が受けられます。直近3年のボーダー感は、 平均点が

	理論	実験	合計
2022	180	72	252
2023	152	157	309
2024	135	99	234

で、賞のボーダー感は

優秀賞	平均点以上
銅賞	平均点+30~40
銀賞	平均点+60~80
金賞	人次第、平均点+100?

で候補ボーダーが、

2022(14人)	銅賞最下位まで
2023(12人)	優秀賞上位1列ぐらいまで
2024(12人)	銅賞中位まで

でした。 あとは、さまざまなトロフィーがあって、総合1位、理論1位、実験1位、高2以下1位、初参加1位、1次合計1位、女子1位とかがあり、結構豊富なので、特に初参加の人はビギナー賞を狙いましょう。

最後に

第n話 最後の時間

今回もカルマ君が実テに挑戦します. 開成で最後の実テです.

前回のあらすじ

微分の問題が解けなくてボコボコにされる. せっかくの1位記録(全完記録)が途絶える.

そこから起きたこと

前回の反省を受け, 自分の中で数学の戦略を見直した.

[!note] 戦略

• まず問題を考察と実装に分ける. 考察とは計算用紙上で問題を考察/計算して答えだけを出すフェーズで, 解答用紙には何も書かない. 証明などは筋などを考える. 実装とは解答用紙に答案を作る作業をいう.

• 考察では手早く答えのみを出すので任意の定理を使うが, 使った後で答案にどう実装するかはこのフェーズで見通しを持っておく.

• 考察にかける時間は4分~18分. 明らかに良くない粘着をしていたら10分でも一度問題を変える.

• 実装は考察メモを見ながら手短に答案を書く. 計算が必要な場面はここでもう一度軽く計算して確認する.

• 分野は考察が短く終わりそうな問題からやる. (例:整数など). 積分などは後回しにする.

• 4問考察を終わって4完が確定した段階で解答用紙に4問を実装する. 残りの時間で残りの2問を, 実装と考察を同時に行う.

[!end]

[!info] この戦略のメリット/デメリット

• 答案を書く段階で筋が整理されているので, 無駄な議論を省ける. 答案を書いてないので方針変えが軽くなる.

• 天下り答案が作れる/答案を短くまとめられる

• 実装を同時にやるのに比べて, 大抵50分程度で4問or5問を解いているので手早く外観を把握できやすい. (実装+考察だと50分時点で2問とかなので)

• 事実上同じ問題の議論を2回見ているので, 計算ミスに気づきやすくなる. (が, 書き写しの段階で間違え答案上の議論が破綻するなどのバグもあった)

• 4完を確保しに行くので, 安定して100点程度の点数が出やすくなる

[!end]

それを身につけてから, 秋模試を4回受けた. 戦績としては,

• 東大本番レベル(東進) で5完,
• オープンオープン(kawai) で全完,
• 東大リアルバトル(駿台)で3完 (5完-を主張したいが...)
• 東大プレ(代ゼミ)で全完

した. それぞれ110,116,84,118とかが返ってくると思う. (が, 東進は103だった)

また, 今までの反省として採点者を信頼せずいちいち全てのことを日本語で説明したが, 今回はヤバい数学教師を6月に消費しているのでもう出現しないと踏み, 採点者を信頼して必要最低限の行間で答案を書くことにした. 実装は, 答案をそこそこ節約すると2段組にしても1ページ10分程度で済むので, そうする.(リアバトとかは全てを書いていたらギシギシで18分とかになってしまった)

それらを踏まえて, 今日のはいろいろ順番通りではないですが, 脚色とかはせず書いています.

残り180分

残り150分

[!info] 第4問

$12\times 12$ に並んだ格子点の各点を, 赤, 白, 黒のいずれかで塗り分ける時, 4頂点全てが同色であり, 辺が格子点の軸に平行な長方形が存在することを示せ.

[!end]

とりあえず数オリっぽい (考察重視で計算要らなそう) のでこいつから仕留めにかかる. 流石にオチは鳩の巣っぽい. 一回色々考察することにする. 強化版鳩の巣を思い出しておく.

[!note] 強化版鳩の巣原理

正の整数 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ が, $$ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = S $$ であるとする. このとき, 適当な整数 $X$ について $$\dfrac{S}{n} > X-1 $$ なら, ある $x_k$ は $x_k \geqq X$ を満たす.

(使用例) $n=8$, $x_i$ を $i$ 組の人とした時, 人が $S=9$ 人いたら, $\dfrac{9}{8} \geqq 2-1$ なので, ある $k$ で $x_k \geqq 2$, つまり同じ組の2人が存在する.

(使用例2) $10$点満点のテストが整数の点数で, 平均点が $6.1$ 点なら, $7$ 点以上をとった人は必ず存在する. (逆に, $6$点以下がいたことも言える. )

[!end]

こういうのは細かいところに追い詰めて局所的な議論するよりも, こういう鳩の巣原理などで全体を詰めたいので, 総和などを考えたい.

まずは赤, 白, 黒のうちどれかは $48$ 個以上あるとしていい. もうその色で長方形があることを証明したい. すると, その色だけ考えた時に一行に4個ある行が存在する. うーん? 1行は考えても無駄だけど, 3行は4個以上あることが言えるな. だけどその場合

ooooxxxxxxxx

xxxxooooxxxx

xxxxxxxxoooo

になったり, あんまり無用なんだよな. いや, この後の一般性が崩れすぎて何も議論できない.

一回頭を冷やしてみる. 座標軸に平行な長方形は $(_{12}{\rm C}_{2})^2 =66^2$ 個あるので, その中の一個ぐらいは同色であっても良さそう. $4$点が同色になる確率が $\dfrac{1}{3^3}=\dfrac{1}{27}$ で..., いや, なにやってんだって感じになる.

焦る. 瞬殺しなきゃいけない問題なはずなのに, $12$ はストリクトでいい感じに解けるはずなのに, 解けない.

残り140分

一回落ち着くために整数を殺すことにする.

[!info] 第1問

正の整数$a$, $b$, $c$ の組であって, $$4(a+b+c)=ab+bc+ca$$ を満たし, $a$, $b$, $c$ 全てを割り切る素数はなく, $a\leqq b\leqq c$ であるものを全て求めよ.

[!end]

$a$, $b$, $c$ は小さい範囲でしか解がないので, なんらかの大小評価をすれば解が有限に絞れて解けるわけだけど, 一応答案のスペースと実装量も考えるとなるべく厳しい大小評価などで解の候補を少なくしたい. 互いに素とかでもうちょっと絞ってねってことなのかな. とりあえず"解けるか"というより"どう解くか"が試されている問題ではある.

まず初手は大小評価をしたくなる. ただ互いに素な仮定が気になるなあ. 左辺は過大評価して, 右辺は過小評価したい. $ab\leqq ac\leqq bc$ なので, $$ 12c \geqq 4(a+b+c) = ab+bc+ca \geqq 3ab $$ なので, $4c\geqq ab$. うーん. $c$ についての条件と $a,b$ についての条件が交わっちゃいけないんだよな. $ab\geqq 1$ より, $$ 4(a+b+c) = ab+bc+ca \geqq 1+ c(a+b) $$ つまり, $a+b$ を塊のまま見ると $$ c(a+b) - 4(a+b) - 4c + 1 \leqq 0 $$ で, $$ (c-4)(a+b-4) \leqq 15 $$ となる. とりあえず $c\leqq 19$ はわかったけど, これじゃあ $c-4<0$ の場合も含めてめんどくさすぎる. 一回大小評価は離れよう.

次は伝家の宝刀, 文字 $\bmod$ で考えてみる. (つまり剰余を考える) 対称性があるならでかいものでとるのがよくて, $$ 4(a+b) \equiv ab \pmod c $$ つまり $ab-4a-4b$ は $c$ の倍数か... 何の役にも立たない. 奇を衒って $\bmod (b+c)$ とかとってみよう. $$ 4a \equiv a(b+c) + bc \equiv bc \equiv -b^2 \pmod (b+c) $$ つまり, $4a+b^2$ は $b+c$ の倍数か... 何の役にも立たない.

まずい. 一旦落ち着いて偶数奇数とかを考えよう. 全部偶数は互いに素に引っかかるからダメで, 全部奇数もダメ, 左辺が偶数になるには偶数が$2$個必要. うーん. どれが偶数とかわかんないんだよな.

何で解けないんだろう. いや解けてはいるんだけど, どう考えてもこのままだと終わった雰囲気にしかならない.

一回やるだけに見える3番とかを解いてみる.

残り130分

[!info] 第3問

鋭角三角形 $\rm ABC$ に対して, $\rm A$, $\rm B$, $\rm C$ からおろした垂線の足を $\rm P$, $\rm Q$, $\rm R$ とする. 三角形 $\rm ABC$ の面積が$1$のとき, 三角形 $\rm PQR$ の面積の最大値を求めよ.

[!end]

ここまでまだ0完. 流石にこれは仕留めたい. もう何度も見た構図. 最大値と書かれているが, 三角形の形状に関する関数なので一変数じゃ表せない. 最大値がこれって言った後, それの不等式を証明すればいいような気がする. とりあえず正三角形の時 $\dfrac{1}{4}$ で, まあこれ以下なことは示そうな気もするので, それを意識しながら頑張ってみる.

$\triangle \rm PQR$ の面積をどう表すかが全てな気がする.

[!info] 第2問

次のような分数の並びを考える. $n+1$ 行目は, $n$ 行目の隣り合う分数の分子の和を分子とし, 分母の和を分母とした数をその間に挿入して生成される.

1行目 : $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{2}$

2行目 : $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{1}{2}$

3行目 : $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{3}{8}$, $\dfrac{2}{5}$, $\dfrac{3}{7}$, $\dfrac{1}{2}$

(1) 隣り合う分数が$\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ とするとき, $bc-ad=1$を示せ.

(2) 現れる分数がすべて既約分数であることを示せ.

(3) $\dfrac{41}{100}$ が最初に現れる行の $\dfrac{41}{100}$ の両隣にある分数を求めよ.

(4) $\dfrac{41}{100}$ が最初に現れるのは, 何行目の左から何番目か.

[!end]

[!info] 第5問

点 ${\rm A} (2\sqrt{2},0,-3)$, ${\rm B} (4\sqrt{2},0,-1)$, ${\rm C} (3\sqrt{2},\sqrt{6},1)$, ${\rm D} (\sqrt{2},\sqrt{6},-1)$, ${\rm E} (\sqrt{2},\sqrt{6},-1)$, ${\rm F} (3\sqrt{2},-\sqrt{6},1)$, ${\rm G} (2\sqrt{2},0,3)$, ${\rm H} (0,0,1)$ を取り, 立方体 $\rm ABCD-EFGH$ の内部および表面のうち, $-1\leqq z\leqq 1$ にある部分を $K$ とする.

(1) $-1\leqq t\leqq 1$ として, 平面 $z=t$ と $K$ の共通部分は六角形になる. その頂点の座標を求めよ.

(2) $K$ を $z$ 軸の周りに回転して得られる立体の体積を求めよ.

[!end]

[!info] 第6問

点 $\rm A(0,1)$ を中心とする半径 $1$ の円の $x\geqq 0$ の部分の弧 $\rm OB$ ($\rm O(0,0)$, $\rm B(0,2)$) に長さ $\pi$ の糸が巻き付いている. この糸をピンと張ったまま, 点 $\rm B(0,2)$ にあった糸の端点 $\rm P$ を点 ${\rm C}(\pi,0)$ まで移動させる. 糸が弧 $\rm OQ$ まで巻き付いていて, 残りの部分 $\rm PQ$ は円の接線になっている.

(1) $\angle {\rm BAQ} =\theta \; (0\leqq \theta\leqq \pi)$ とするとき, $\rm P$ の座標を $\theta$ で表せ.

(2) 点 $\rm P$ の軌跡である曲線 $\rm BC$ と $x$, $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

[!end]

東大オープン 物理(とちょっと化学)

まとめ

東大オープンを意地張って60点取りに行った結果、重すぎてギャン泣きする。

作戦

意地でも60点取りに行くムーブをする。絶対に間違いだとわかる答え以外は書かない。(空欄は論外)

化学は2がつからノータッチなので、本当に残っている知識だけで埋める。

第2問 : RC回路

一番軽そうなこいつから殺すことにした。東大模試界隈で何故か人気なこいつだが、ワンパターンなので面白みがない。あと有名すぎて東大は流石にださなそう。予備校もネタづくりに苦戦しているんだなぁとわかる。

パート1:充電回路

とりあえず方程式を全部書き出してみる。 \begin{align} V_0 &= V_C (t) + RI(t) \\ V_C (t) &= \frac{Q}{C}
\end{align} なので、$t=0$ で $V_C(0)=0$、$I(t)=0$、で $t\to \infty$ で $V_C(\infty) = V_0$、 $$

物理オリンピック2025 選抜日記

物理オリンピック2025の選抜の話をまとめます。もう3回目なので

今年もまた春がきた

　JMO表彰式を終えて

理論試験1 (2日目午前)

　2日目はよく寝れました。早めに起きて彩りがない食事をして、試験場に入ります。試験会場は長期館セミナ〜室。

　試験開始10分前。試験監督の先生から解答用紙と白紙が配られます。なんと、昨年までと異なり解答用紙が添削の解答用紙になっていました。

　解答用紙は10枚 しか 配られませんでした。え、これ10枚に抑めなきゃいけないのか?? 10枚に抑えるのは不可能なのでめちゃくちゃ動揺しました。試験前に聞いてみると追加できるということで、安堵。試験問題は3問50点ずつ、3時間でした。

理論1 : 水星の近日点移動

　試験スタート。1問目はケプラー問題で、Kevin Zhou でいうとM6のやつでした。2024は出なかったので出る読みが当たってうれしい。1問目の問1の(a)を読みます。

質点が中心力のポテンシャル $V(r)$ を受けて動くときの、角運動量が保存することを示せ。 動径方向 $r$ の方程式を角運動量 $\ell$ と $r$ を用いて表せ。

　もう味がしないガムが渡されました。$\mathbf{e_r}$ 、 $\mathbf{e_\theta}$ の時間微分を $$ \frac{d}{dt} \mathbf{e_r} = \dot{\theta} \mathbf{e_\theta}, \qquad \frac{d}{dt} \mathbf{e_\theta} =- \dot{\theta} \mathbf{e_r}, $$ のように書き表せて、$\mathbf{r}$ の2階微分を計算します。これをありえないぐらい高速で導出しました。すると、\begin{align} \ddot{r} + r(\dot{\theta})^2 = -\frac{1}{m} \frac{dV}{dr} \\ 2r\dot{r}\dot{\theta} + r^2 \ddot{\theta} = 0 \end{align} が得られます。なので2式目から $\ell = r^2\dot{\theta}$ は保存していて、動径方向の $\dot{\theta}$ は消せます。

　ここまでで2ページ使ってしまいました。そしてこの問題は3点でした。 (3点!?) 流石にこのペースで解いていくと解答用紙が100ページぐらいになるので、ちょっとペースを落としました。

　次の問題は半径 $r=r_c$ の円軌道が安定となる条件です。$- \frac{dV}{dr}=F(r)$ とおけば、まず円軌道が存在する(力が釣り合う)条件は $$ \frac{m\ell ^2}{r^3_c} = -F(r_c) $$ で、次に半径方向に $r=r_c+dr$ ずれたとすると、$dr$ の運動方程式は $$ F(r) \approx F(r_c) + F'(r_c) dr $$と $$ \frac{m\ell ^2}{r^3} \approx \frac{m\ell ^2}{r^3_c} - \frac{3m\ell^2}{r^4_c} dr $$ なので、(これは微分の式から出すべきで、1次近似でやろうとするのはアホです) $$ m (\ddot{dr}) = \left( F'(r_c) + \frac{3m\ell^2}{r^4_c} \right) dr $$ すると、釣り合いの式を代入すれば $$ m (\ddot{dr}) = \left( F'(r_c) + \frac{3F(r_c)}{r_c} \right) dr $$ で、安定となる条件はカッコ内が負で $$ F'(r_c) + \frac{3F(r_c)}{r_c} < 0 $$ です。$F(r) = -Kr^n$ のとき、安定となる条件は $$ -Knr_c^{n-1} - Kr_c^{n-1} < 0 $$ なので $$ n>-3 $$ になります。ここまでで8点です。

(c) は近日点と遠日点の角度差を求める問題ですが、これは(b)での$r$方向の振動の周期Tが $$ T = \frac{2\pi}{\sqrt{-\frac{1}{m}\left(F'(r_c) + \frac{3F(r_c)}{r_c}\right )}} $$ なので、近日点と遠日点の角度差 $\psi$ は $$ \psi = \frac{T}{2} \cdot \dot{\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{-\frac{1}{m}\left(F'(r_c) + \frac{3F(r_c)}{r_c}\right )}} \cdot \frac{\ell}{r_c^2} $$ となり、これを整理すると $$ \psi= \frac{\pi}{\sqrt{3+ \frac{r_c F'(r_c)}{F(r_c)}}} $$

(d) は $F(r) = -Kr^n$ のとき、軌跡が閉じるときはどんなときかという質問ですが、これは $2\psi$ が $2\pi$ の有理数倍になれば良いです。$$ \psi = \frac{\pi}{\sqrt{n+3}} $$ なので、$n=-2, 1$のときは適当によくなって、 $n=-\frac{26}{9}$ とかいうわけわかんないときもまぁかけます。

ここまで16点ですが、どう考えても重いです。(約30分) Part B以降が34点、解けるわけなさそうな見た目をしているので一回2番に行きます。

理論2: 希薄気体の電気的性質。

実家のような電磁気学の問題です。

Part Aは、仮想的に導体球でできた金属の粒子でできた気体の誘電率を求める問題です。これは金属に外部電場 $E$ をかけたときの分極 $P$ は $$ P = -\frac{E}{3\varepsilon_0} $$ なので、（これは境界条件を満たすように考えればよいやつです） 粒子の半径が $R$、数密度が $n$ のとき、単位体積あたり $$ \frac{4}{3}\pi R^3 n P $$ の分極があるので、電場が減る割合である比誘電率 $\varepsilon_r$ は $$ \varepsilon_r = 1+ 4\pi R^3 n $$ になります。

この問題の最後の問題が面白くて、ナイーブに解くとどうなりますかという問題があります。この場合、$$ \varepsilon_r = 1+ \frac{4}{3}\pi R^3 n $$ となります。ナイーブに解くって面白い言葉ですね。合宿中ずっと使ってました。

Part Bは、19世紀のトムソンの原子モデルの単原子分子はどうなりますかという問題でした。

電子が1つ動いていて、正電荷雲中をどう運動しますかという問題ですが、電荷密度 $\rho$ が作る電場は半径に比例しているので $$ E(r) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} r $$ 結局電子の運動は中心まわりの単振動になります。

外部から電場をかけるとどうなるかという話ですが、力を考えると中心がズレるだけになります。(中心をずらすだけ) なので、原子の平均双極子モーメントがもとまりますね。線形な力の運動方程式は解けるというよくある問題でした。

実際この平均を取ることの正当性についてですが、$\omega$ がおおよそ なのでよいです。

Part Cは、純粋な双極子モーメントのような気体分子についてどうなりますかという話です。電場 $E$ 中にあった時、

第4問 フーコーの振り子

これは本当の実家 (研修テキスト出身) の問題です。

まずは問題文をよく読むと、dotで動く $xyz$ 座標系のナイーブな微分、$\frac{d}{dt}$ で慣性系からの微分を表すとわかります。この記法を理解していないとこの問題の点数が吹っ飛びますね。ようた君、ちゃんと研修テキスト読みましたか?

$xyz$ 座標系が慣性系について $\bf \Omega$ で回転している時、任意のベクトル $\bf A$ について $$ \frac{d}{dt} \textbf{A} = \dot{\textbf{A}} + \Omega \times \textbf{A} $$ が成立します。これは $A$ を成分と単位ベクトルの積で書いて積の微分と、回転の定義を考えると導けます。私はこれを最近理解しました。(理解しておいてよかった...)

この問題は1番と対比的で1問10点の小問が5個あり、軽い出題です。研修テキストを読みましたかという枠だと思います。

(1) は質点の速度と加速度をナイーブ微分で表せという問題ですが、すこし表現が不親切ですね。慣性系から見たとか書いていれば誰も間違えなかったと思います。ナイーブ微分の意味を理解していればの話ですが。

(2) (3) は普通に運動方程式を立てれば良くて、僕は慣性力や見かけの力という概念がすごく苦手でしたが、慣性系から立てればいいです。

(4) は運動方程式を解くので、 糸の張力 $S$ を座標と $z$ 成分の式から消せば良いです。ここでミスると後の10点が飛ぶので注意します。整理する形が与えられているのでそれに一致して一安心しました。

(5) は $x$, $y$ の微分方程式を解けという問題です。問題文にヒントが書いてありましたが、何のことかわからず焦りました。でも心配は無用で 、 $$ u = x+iy $$ と変数を変換すると、$$ \ddot{u} - $$

今"物理チャレンジ"に申し込むのがエッジな理由。

結論

結論から言うね。

今"物理チャレンジ 2026"に参加するのがエッジ。特に高校2年生以下はガチで申し込んでみた方がいい。申し込みは5/30 13:00まで。

JPhOのサイト https://www.jpho.jp/challenge/challenge2026/boshu.html

申込サイト https://contest-kyotsu.com/entry/entry?kamoku_code=4

申し込むと何が起こるか

物理チャレンジとは物理オリンピック日本代表を選ぶ全国コンテストで、予選と本選がある。予選は理論コースと実験コースがあって、まあよくわからない人は理論コースでいい。それで共通テストみたいなマーク式のテストがオンラインであって、(7月上旬、90分) それで7割ぐらい取れると本選に行ける。

共通テストみたいな予選

本選は4日間の合宿形式で、理論試験と実験試験がある。実験試験は実際に器具を使って測定する。これは結構面白い。

本選の実験試験、ブースみたいなところでやるよ

んで、本選100人のうち30人ぐらいがメダルもらえて、あと、高校2年生以下の12人が翌年の物理オリンピック代表候補になる。

"エッジ"な理由を紹介

高校2年生以下のエッジ

これは簡単で、"物理オリンピック代表になれるしタダで海外旅行に行ける可能性がある"っていうエッジ。

なれるわけねえよ！っていうツッコミはあり得るが、実は予選さえ通過できればそんなほどでもない。

予選は実は結構ハードで、70点ってマークといえどもまあまあ高い点数なので割と高いハードルだけど、試験中は参考書とかオフラインの資料は見ていいはずだったのでまあ高校物理完璧じゃない人も地頭でなんとかなりうる。

で本選はこれはエッジで、高校二年生以下は実はめっちゃ少ないってこと。12人の代表候補ボーダーってのがあるんだけど、これは上30のメダルはおろか優秀賞(半分?)でもなれる。また、本選の問題は物理の知識がない人でも数学力とかでなんとか点数が取れるタイプの試験なので、未経験者でもチャンスがあります。

で、代表候補(12人)になると、半年間研修プログラムがあって、選抜で8人がapho(アジア物理オリンピック)、5人がipho(国際物理オリンピック)に行ける。僕は高1から高3まで4回4カ国に行きました。テストは受ける必要があるがそれを除けばタダで色々な国に行ける。楽しい思い出ではある。

要約すると、予選さえ通過すれば割と高い確率で代表になれるチャンスがもらえる。そして、数学オリンピックのような地頭天井以外お断りではない。そして他のオリンピックと比べて代表の人数が多いのもエッジ。

楽しいなあ

ドパガキ向けのエッジ

物理チャレンジの本選の理論問題は"Long Problem": つまり1問が長く小さな小問に分けられていて、誘導が丁寧についている。

なので、高校数学の微積分さえできれば物理の知識がなくても十分戦える。

また、先も述べたが数学オリンピックのようにジアテン以外お断りでもなく、むしろスピードとかがものを言う"ドパガキ向けの設計"。ぜひ競技数学とかが好きな人間にも挑戦してほしい。

大学受験にむけたエッジ

本選には半分以上高3がいるが、これは単純に合宿が楽しいからというのもあるし、実は大学受験にもメリットがあるからだとも言える。

本選の理論問題が解けるようになると東大2次の物理の問題はまあそこまで難しくなくなる。というのも東大2次も小問が多いと言う点で形式が似ているからだ。

あと、物理オリンピックの代表候補になった人は大学受験の実績が統計的に良い。これはただの相関に過ぎないが。あとオリンピックの実績付近で推薦を狙う人も多い。

まあどれもこれも因果関係が真逆な気もするが、物理オリンピック界隈が物理の入試でアドバンテージを取れると言う相関はあるだろう。

まとめ

"そんなのただの理想論だろ"みたいな話はある。ただ申し込まないとチャンスはないというのは事実である。

参加費は(予選) 2000円。いかがだろうか。